Physics 1602 5 The Geometry of Electrostatic Fields

Eとφは分かった

それを元に、gauss's lawとかを考える

(ここのcurrentは、"今"ではなく"電流")

$ \frac{mass}{length^2 \cdot time}

これをareaでintegrateすれば、flux（mass/time）が得られる

https://kakeru.app/2b3dfec1e3f49f3c67f8cb5ff26cbe94 https://i.kakeru.app/2b3dfec1e3f49f3c67f8cb5ff26cbe94.svg

面の角度が変わった時、normal vecとAreaと変化が打ち消し合う

Rが変わった時、Chargeの1/R^2とAreaのR^2が打ち消し合う

p70に書いてある

Qは、全てのchargeのsum

chargeがsurface内にあるなら、位置は関係ない

p(r, r')分からんかった

https://gyazo.com/ff56461d6017e266cab7492e4572f7f1

continuous charge distributionも考えれば、これでfluxが得られる

charge distributionのvolume integralを取ってcharge sumはまあ自明

chargeがinside surfaceにない場合、fluxは0になる

これはE verの式では非自明だけど、gauss ver の式を見れば自明

chargeが中にないdonut shapeのsurface

これは、fluxの出入りが打ち消し合って0になるなら、半径が大きい=surfaceが広い方がEが小さいのか

それをgeneralizeすれば、これが得られる

https://gyazo.com/71d0aabe697b691b38372c04949248d0

point chargeがill-defined

それはそう

そうすればIntegrateした時にうまく成り立つ

symmetryがある時、fluxもシンプルにできる

spherical symmetry

sphereのfluxの式は単純にできる

E(r)が全部一緒なので

さらに、sphereの範囲内でuniform densityだと、r=Rまでlinearに増えて、そこから減ってくE(r)が見える

https://gyazo.com/9f8c0d4e5d8755f869d0eb33ee05ba30

surface density σというものを考えて、それでEを表せる

symmetryのおかげで、Eはsurfaceのどこでも同じ値

なので、fluxの値を全surfaceで分配すればEがわかる

inifnite cylindrical symmetry

E(r perp)という関数になる、zは関係ない

Eの方向もr perp hatになる

その上で、そこにあるlength Lのcylinder surfaceを考える

Eのz contributionはないので、左右の面のfluxは0

この時charge per unit length λを考えて、それでEを表せる

三つ目みたいな式はここでもできるのね

外側のchargeを考えなくて良いのはなぜ?

これはgauss law

planar symmetry

こうなると、two inversion symmetryがあるので1D problemに落とし込める

距離が変わってもfieldは同じ

直感としては、

planeに近い時が、一番近い点のchargeの影響は強い

planeから遠い時、一番近い点のchargeの影響は弱まるが、より遠い点の影響は強まる

より多くのpoint chargeによるperpendicular方向のベクトル成分が強まるのか

別の説明として、

barrelのsurfaceが大きくなろうが小さくなろうが、total chargeが同じならEも同じ

https://kakeru.app/593b249508b09ef4997c9aad3fa87091 https://i.kakeru.app/593b249508b09ef4997c9aad3fa87091.svg

これをsurface/plane chargeで考えられる

E*q/area = Force/area = pressure

An interesting aspect of this result is that is doesn’t depend on the variation

of ρ within the charge layer

potential energy per volume概念

local valueがそれぞれの場所にある感じね

それがεE^2/2

force / area = pressure と、energy / volume は同じdimentionなのか

Flux

前提として、electrostatic = ∂E/∂t=0

how the vector changes perpendicular to each directions

div : Eの各方向について、その方向の変化があればcurlが生まれる

xiとか、yjとか

curl: Eの各方向について、その方向以外の変化があればcurlが生まれる

yi とか、xjとかみたいな係数があればcurlが生まれる

div(curl)とかcurl(div)は0

stokes theorem

right hand ruleでcurveをareaにかえる

方向大事

なぜcurved faceとflat faceが同じなのか

p111 意外とシンプル

div of curlが0ということから導ける

electrostatic fieldは、実は全部- curl=0

なので、surfaceを考えると、non-normal componentはsurfaceの前後で変化しない、みたいな制約が生まれる